点集拓扑学

学科名
点集拓扑学Point Set Topology),又名一般拓扑学(General Topology),是用点集的方法研究拓扑不变量的拓扑学分支,主要处理的基本概念是:“连续性”,“紧性”和“连通性”。

起源

点集拓扑学产生于19世纪。G.康托尔建立了集合论,定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念,获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来,建立了广义分析,可看为拓扑空间理论建立的开始。F.豪斯多夫在《集论大纲》(1914)中用开邻域定义了比较一般的拓扑空间,标志着用公理化方法研究连续性的一般拓扑学的产生。随后波兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质(分离性、紧性、连通性等)做了系统的研究。经过20世纪30年代中期起布尔巴基学派的补充(一致性空间、仿紧性等)和整理,一般拓扑学趋于成熟,成为第二次世界大战后数学研究的共同基础。
欧氏空间中的点集的研究,例如,一直是拓扑学的重要部分,已发展成一般拓扑学与代数拓扑学交汇的领域,也可看作几何拓扑学的一部分。50年代以来,即问两个映射,以R.H.宾为代表的美国学派的工作加深了对流形的认识,是问两个给定的映射是否同伦,在四维庞加莱猜想的证明中发挥了作用。从皮亚诺曲线引起的维数及连续统的研究,习惯上也看成一般拓扑学的分支。

简介