外延公理(axiom of extensionality),[1]是指一个集合完全由它的成员确定;当且仅当它们拥有相同的元素时,两个集合相同。[6]
1874-1897年,康托尔(G.Cantor)发表了一系列论文,他以“朴素的”观点来看待集合的,但没有明确规定对于已知集合做哪些事情是合法的。[7]随着对集合论的不断研究,外延公理的最初雏形在捷克数学家波尔查诺(Bolzano)的《几何理论》(Größenlehre)中被提出,1888年,数学家尤利乌斯·威廉·理查德·戴德金(Julius Wilhelm Richard Dedekind)在他的随笔中阐述了潜在的外延公理,1908年,受戴德金的影响,且随着人们陆续发现在素朴集合论中存在悖论,策梅洛(Ernst Zermelo)提出了第一个公理化集合论系统,其中外延公理作为第一条公理被引进。后来弗兰克尔对策梅洛的公理系统作了改进,所得公理系统被称为策梅洛-弗兰克尔系统,简记为ZF系统。[2][8] 外延公理定义了集合的相等性,它具有自反性、对称性和传递性的性质,[3][1]ZF公理系统中的其他公理,如空集定理,可以通过外延公理进行证明。[9][10]逻辑学中,外延性原则是与外延公理相关的准则,但是也存在很多违反该原则的例子,如主观概率判断。[3][4] 定义
如果一个集合的所有元素也是的元素,反之亦然,则。简而言之,一个集合完全由它的成员确定;当且仅当它们拥有相同的元素时,两个集合相同,即。[6]