外延公理

定义集合相等性、保证唯一性的集合论公理（ZF1）
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外延公理（axiom of extensionality），[1]是指一个集合完全由它的成员确定；当且仅当它们拥有相同的元素时，两个集合相同。[6]
1874-1897年，康托尔（G.Cantor）发表了一系列论文，他以“朴素的”观点来看待集合的，但没有明确规定对于已知集合做哪些事情是合法的。[7]随着对集合论的不断研究，外延公理的最初雏形在捷克数学家波尔查诺（Bolzano）的《几何理论》（Größenlehre）中被提出，1888年，数学家尤利乌斯·威廉·理查德·戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）在他的随笔中阐述了潜在的外延公理，1908年，受戴德金的影响，且随着人们陆续发现在素朴集合论中存在悖论，策梅洛（Ernst Zermelo）提出了第一个公理化集合论系统，其中外延公理作为第一条公理被引进。后来弗兰克尔对策梅洛的公理系统作了改进，所得公理系统被称为策梅洛-弗兰克尔系统，简记为ZF系统。[2][8]
外延公理定义了集合的相等性，它具有自反性、对称性和传递性的性质，[3][1]ZF公理系统中的其他公理，如空集定理，可以通过外延公理进行证明。[9][10]逻辑学中，外延性原则是与外延公理相关的准则，但是也存在很多违反该原则的例子，如主观概率判断。[3][4]

定义

如果一个集合
的所有元素也是
的元素，反之亦然，则
。简而言之，一个集合完全由它的成员确定；当且仅当它们拥有相同的元素时，两个集合相同，即
。[6]